Показникові рівняння і методи їх розв’язування

Показниковими рівняннями називаються рівняння, в яких змінна знаходиться в показнику степеня.

Основний метод розв’язування показникових рівнянь – зведення їх до рівняння, обидві частини якого – степені з однаковою основою. Якщо степені з однаковою основою рівні, то рівні і їхні показники степеня.

Рівняння, в лівій частині якого показникова функція, а в правій число, розв’язується так:

Якщо в правій частині число додатне, то його подають у вигляді степеня з тією ж основою, що і степінь у правій частині. Якщо рівні степені з рівними основами, то показники степеня теж рівні.

Якщо в правій частині число від’ємне або нуль, то рівняння коренів не має. При розв’язуванні показникових рівнянь використовують закони дій над степенями.

Рівняння, в лівій і правій частинах якого показникові функції з рівними основами, розв’язується так:

Прирівнюємо показники степеня і розв’язуємо одержане рівняння.

Рівняння, в лівій і правій частинах якого показникові функції з різними основами і рівними показниками степеня, розв’язується так:

Оскільки показникова функція набуває лише додатних значень, ділимо обидві частини рівняння на вираз, що дорівнює одній із його частин (правій або лівій). Тоді одна з частин рівняння буде дорівнювати одиниці, яку можна представити у вигляді степеня з такою ж основою, як у другій частині рівняння, і показником степеня, що дорівнює нулю.

Якщо в лівій частині рівняння є сума степенів з однаковою основою, а в правій частині – деяке число, то рівняння зводиться до найпростішого розкладанням на множники лівої частини рівняння винесенням за дужки спільного множника.

Якщо в лівій частині рівняння є сума двох степенів з однаковою основою, і показник одного степеня вдвічі більший за показник другого, і плюс деяке число, а в правій частині – нуль, то рівняння зводиться до квадратного введенням нової змінної.